La formula di Kelly
ed il generatore di equity curves

1. La probabilità di vincita (winning probability) --- La probabilità, cioè, che ciascuna singola operazione (trade) si traduca in un risultato positivo (gain)
2. Rapporto media vincita/media perdita (winAv/lossAv ratio) --- Il valore medio delle operazioni chiuse in vincita (media del gain) diviso per il valore medio delle operazioni chiuse in perdita (media del loss)

Questi due fattori sono inseriti nella equazione di Kelly:

Kelly % = W - (1 - W) / R

dove:
W = Winning probability
R = WinAverage/lossAverage ratio

Il risultato è la "percentuale di Kelly" (Kelly %), che esamineremo di seguito.

In quale modo metterla in pratica
Il sistema di Kelly può esser messo in opera seguendo questi semplici steps:

• Registrate le vostre ultime 50-60 operazioni sul mercato. Prendete la lista delle operazioni fatte con il vostro broker oppure, se state usando un sistema meccanico di trading, potete effettuare un back testing dello stesso e registrare i valori ottenuti.
• Calcolate il "W", cioè le probabilità di vincita. Per fare questo, dividete il numero delle operazioni che hanno generato un gain per il totale delle operazioni effettuate (positive e negative). Il risultato sarà un numero compreso tra 0 ed 1 (esempio: 50 operazioni totali. 30 chiuse in gain e 20 chiuse in loss. W= 30/50 = 0.6 ).
• Calcolate "R", cioè il rapporto "winAv/lossAv". Per fare questo dividete il valore medio del gain generato dalle operazioni positive per il valore medio dei loss. (ad esempio: media delle operazioni in gain =500€ ; media delle operazioni chiuse in loss = 300€; R=500/300= 1.66 ).
• Inserite i valori W ed R ottenuti, nella equazione di Kelly K% = W - (1 - W) / R.

Segnate il risultato ottenuto.

Interpretazione dei risultati
La formula produce come risultato un numero minore di 1. Esso rappresenta la dimensione (size) della posizione che dovrebbe essere assunta sul mercato; la percentuale del vostro portafoglio, cioè, con la quale dovreste eseguire l'operazione.

Per esempio, se il risultato della equazione fosse 0.05, allora dovreste usare il 5% del vostro portafoglio per ogni singola posizione che andrete ad assumere sul mercato. Questo sistema, in sostanza, vi suggerisce quanto dovreste "diversificare".

Il sistema richiede anche senso pratico, comunque. Una regola da tenere a mente, indipendentemente da quello che potrebbe risultare applicando i vostri dati statistici alla formula di Kelly, è di non investire mai più del 20-25% del vostro capitale in un singolo strumento. Una posizione superiore a questa percentuale sarebbe un rischio troppo elevato per chiunque, nel lungo periodo.

Il sistema è efficiente?

Il sistema di Kelly si basa sulla applicazione di una formula matematica ma alcuni potrebbero domandarsi se, un sistema sviluppato per studiare fenomeni di "rumore" su linee telefoniche, possa essere adatto anche al mercato azionario.

Mostrando la crescita simulata di un "conto di trading" basata su un modello matematico, si può dimostrare la sua affidabilità. Necessariamente, le due variabili richieste devono essere inserite correttamente e ci si basa sull'ipotesi che l'investitore mantenga fissi i parametri di rischio (le variabili) assunti in origine.

Ecco un esempio:

Nella immagine qui sopra possiamo vedere l'andamento simulato di 30 "conti di trading", su 453 operazioni, tramite la rappresentazione della loro "equity curve". Origine della simulazione sul valore 100.

I parametri adottati sono:

• la media del singolo loss uguale alla media del singolo gain (win/loss=1)
• la probabilità di trade vincente uguale al 60% (win prob=0.6)

Il Criterio di Kelly suggerisce, in questo esempio, di allocare non più del 19.9% del capitale a disposizione (bet-size) per eseguire ciascuna operazione (quindi un massimo di 5 operazioni su diversi strumenti in contemporanea).

Il risultato evidenziato nella immagine è un ritorno positivo nel lungo periodo su tutti gli "accounts" dei 30 traders dell'esempio (da notare, comunque, alcuni ritorni negativi nel breve periodo con un minimo a 86, che corrisponde al 14% di loss). Il massimo "return" simulato, al termine delle 453 operazioni, è stato del 124% (inizio a 100, fine a 224).

Perché, allora, non tutti guadagnano?

Nessun sistema di money management è perfetto. Questo sistema vi aiuta a diversificare il portafoglio in maniera efficiente, ma ci sono molte cose che il sistema non può fare. Non può selezionare il titolo vincente per conto vostro (stock picking); non può assicurarvi che continuerete a fare trading con gli stessi parametri di adesso (rapporto win/loss e winning probability); e non può predire improvvisi market crash.

Inoltre, c'è sempre un certo livello di "fortuna" o casualità nel mercato che può alterare le vostre performance "ideali". Ad esempio, considerate ancora l'immagine qui sopra. E' evidente come il miglior "return" simulato sia stato del 124% ma il peggiore è stato di circa il 50%. Entrambi gli accounts avevano gli stessi parametri di studio di partenza, ma la "casualità" (randomness) nella successione dei loss e dei gains possono creare temporanee oscillazioni nei valori degli accounts stessi.

Conclusioni
Il money management non può assicurarvi che otterrete sempre degli strabilianti ritorni positivi dalle vostre operazioni, ma può aiutarvi a limitare e contenere le perdite e ad ottimizzare e massimizzare i gains attraverso una efficiente diversificazione di portafoglio.
Il Criterio di Kelly è uno dei tanti modelli che possono essere usati per aiutarvi a fare questo--- diversificare.

Applet di simulazione di equity curves
in base ai parametri win/loss e win probability

Cosa evidenzia l'applet java qui sopra?
L'applet simula la equity curve (curva di rendimento) di un ipotetico conto, nel lungo termine, quando ad esso vengano applicati sistematicamente i parametri di trading ricavati dal rapporto win/loss e dal win probability (a cui ci si riferisce in questa pagina a proposito del Criterio di Kelly). Una curva intera consiste di circa 450 periodi (operazioni simulate, trades). Un generatore random decide se il trade sarà vincente, o perdente, in base ai parametri definiti dall'utente. La equity curve viene disegnata seguendo i parametri statistici indicati.

Cosa è il "Win/Loss ratio"?
E' un numero ottenuto dividendo il valore medio del guadagno delle operazioni che sono positive per il valore medio della perdita delle operazioni che sono in loss.
Esempio: se, mediamente, il vostro gain è di 500 euro per una operazione giusta ed il vostro loss è di 350 euro per un'operazione sbagliata, il "Win/Loss ratio" sarà 500/350 = 1.42

Cosa è il parametro "Win Prob"?
Win Probability. E' il numero che rappresenta la probabilità percentuale che la vostra operazione sia vincente.
Ad esempio, se fate 100 operazioni e tra queste ne contate 61 vincenti, allora il vostro "Win Prob" sarà il 0.61 (61/100=0.61)

Cosa è il parametro "Lines Qty"?
Si tratta della abbreviazione di "Lines quantity", cioè "numero di linee". E', cioè, il numero delle equity lines che decidete debbano essere generate e disegnate simultaneamente nel grafico. Questa funzione offre l'opportunità di vedere e analizzare vari scenari (what if) per diversi livelli di casualità (random) nella sequenza trade positivi- trades negativi. In altre parole, anche se il vostro sistema risulta vincente al 99.9% delle volte, esiste sempre un certo grado di possibilità che possiate subire, ad esempio, 10 stop loss consecutivi. Una corretta strategia di money management consente di sopravvivere sul mercato in maniera da poter essere vincenti nel lungo periodo, senza essere "spazzati via" a causa di una eccessiva diminuita efficienza del proprio portafoglio.

Cosa sono i parametri "Kelly Val" e "Math Expect"?
Kelly Value e Mathematical Expectation del sistema. Il primo determina la percentuale del vostro portafoglio che dovreste utilizzare in un singolo trade per massimizzare il ritorno del portafoglio stesso nel lungo periodo e per minimizzarne i rischi, calcolata in base ai parametri che avete inserito nel simulatore.
Il secondo parametro, Mathematical Expectation, va interpretato in questo modo: se è un numero positivo allora il vostro sistema è "storicamente" vincente, se è negativo allora è meglio che vi cercate un'altra strategia.... :)

Torna alla Home Page di ArezzoTrade.com

Per approfondimenti sulle tecniche di gestione del rischio, è possibile consultare il catalogo della libreria online.

Tra i tanti disponibili, si segnalano i seguenti:

"The Mathematics of Money Management: Risk Analysis Techniques for Traders" di Ralph Vince, giugno 1992

"The Hedge Fund Edge: Maximum Profit/Minimum Risk Global Trend Trading Strategies" di Mark Boucher, novembre 1998

"Investment Management : Porfolio Diversification, Risk, and Timing - Fact and Fiction" di Robert Hagin, dicembre 2003

"Risk and Financial Management: Mathematical and Computational Methods" di Charles Tapiero, aprile 2004

"Advanced Financial Risk Management - Tools and Techniques for Integrated Credit Risk and Interest Rate Risk Management" di Mesler, Mark; Van Deventer, Donald R.; Imai, Kenji; Deventer, Donald R.van. Agosto 2004

"Credit Derivatives - Risk Management and Trading" di Geoff Chaplin, luglio 2005

"Measuring Market Risk + CD-ROM , 2nd Edition" by Kevin Dowd, luglio 2005